Hybnosť a zrážky

Čo sa stane s pohybom, keď do seba dve telesá narazia? Pri zrážkach sa môžu meniť rýchlosti aj smery pohybu, no v izolovanej sústave má jedna veličina výnimočnú vlastnosť — celková hybnosť zostáva zachovaná. Pozrieme sa na to, čo hybnosť znamená, ako sa mení a ako pomocou nej dokážeme opísať zrážky telies.

Hybnosť

Hybnosť je fyzikálna veličina, ktorá vyjadruje, aký veľký pohyb teleso má a ako ťažké je tento pohyb zmeniť. Závisí od hmotnosti telesa a jeho rýchlosti.

p = m · v

p – hybnosť [kg·m/s], m – hmotnosť [kg], v – rýchlosť [m/s]

Vektorová veličina

Hybnosť je vektorová veličina, takže má veľkosť aj smer. Jej smer je rovnaký ako smer rýchlosti telesa.

Ak si jeden smer zvolíme ako kladný, teleso pohybujúce sa opačným smerom má zápornú hybnosť. Pri výpočtoch preto musíme brať do úvahy nielen veľkosť hybnosti, ale aj jej smer.

Od čoho závisí hybnosť?

Hybnosť závisí od hmotnosti aj rýchlosti telesa:

  • Pri rovnakej rýchlosti má väčšiu hybnosť teleso s väčšou hmotnosťou.
  • Pri rovnakej hmotnosti má väčšiu hybnosť teleso s väčšou rýchlosťou.
  • Ak zdvojnásobíme iba hmotnosť alebo iba rýchlosť, hybnosť sa zdvojnásobí.
  • Ak zdvojnásobíme hmotnosť aj rýchlosť, hybnosť bude štvornásobná.
Porovnávacia úlohaklikni pre riešenie ▾

Kamión s hmotnosťou 8 000 kg ide rýchlosťou 20 km/h. Osobné auto s hmotnosťou 1 200 kg ide rýchlosťou 90 km/h. Ktoré z nich má väčšiu hybnosť?

1. Prevod jednotiek — rýchlosť treba v m/s:
20 km/h = 5,6 m/s   |   90 km/h = 25 m/s
2. Hybnosť kamióna:
p₁ = m₁ · v₁ = 8 000 · 5,6 = 44 800 kg·m/s
3. Hybnosť auta:
p₂ = m₂ · v₂ = 1 200 · 25 = 30 000 kg·m/s
✓ Napriek nižšej rýchlosti má kamión väčšiu hybnosť — veľká hmotnosť rozhoduje viac než vyššia rýchlosť auta.

Vyskúšaj si to sám

Nastav hmotnosť a rýchlosť oboch telies a sleduj, ktoré má väčšiu hybnosť.

Teleso A
pA
44 800 kg·m/s
VS
Teleso B
pB
30 000 kg·m/s
Teleso A má väčšiu hybnosť

Zmena hybnosti

Keď sa rýchlosť telesa zmení, zmení sa aj jeho hybnosť. Táto zmena sa počíta ako rozdiel konečnej a počiatočnej hybnosti.

Δp = p₂ − p₁

Δp — zmena hybnosti, p₁ — hybnosť pred dejom, p₂ — hybnosť po deji

Súvislosť so silou a časom pôsobenia

Zmenu hybnosti spôsobuje pôsobiaca sila — a to, ako veľmi hybnosť zmení, závisí nielen od veľkosti sily, ale aj od doby, počas ktorej pôsobí.

F · Δt = Δp

Ľavá strana = impulz sily J [N·s], pravá strana = zmena hybnosti [kg·m/s]

Impulz sily

Impulz sily J = F·Δt vyjadruje “dávku” sily pôsobiacu počas určitého času. Rovnakú zmenu hybnosti možno dosiahnuť malou silou pôsobiacou dlho, alebo veľkou silou pôsobiacou krátko.

Význam dlhšieho času pôsobenia sily

Ak je Δp pevne dané (napr. teleso sa musí zastaviť z určitej rýchlosti na nulu), platí: čím dlhší čas Δt, tým menšia potrebná sila F. Presne na tomto princípe fungujú bezpečnostné prvky.
Airbag
Airbag pri náraze predlžuje čas, počas ktorého sa telo spomaľuje a zastavuje. Zmena hybnosti zostáva rovnaká, ale rozloží sa na dlhší čas, takže na telo pôsobí menšia sila.
Prilba
Penová výstelka sa pri náraze deformuje a predĺži čas spomaľovania hlavy. Pri rovnakej zmene hybnosti tak znižuje silu pôsobiacu na hlavu.
Deformačné zóny auta
Predná/zadná časť karosérie sa zámerne mäkšie deformuje, aby sa predĺžil čas zastavenia a znížila sila pôsobiaca na cestujúcich.
Žinenka
Mäkký povrch sa pri dopade deformuje a predlžuje čas, počas ktorého sa športovec zastavuje. Pri rovnakej zmene hybnosti tak znižuje silu pôsobiacu na jeho telo a kĺby.

Zákon zachovania hybnosti

Formulácia zákona: V izolovanej sústave telies zostáva celková hybnosť zachovaná. Celková hybnosť sústavy pred dejom je teda rovnaká ako po deji, bez ohľadu na to, aké zmeny medzi telesami vo vnútri sústavy nastanú.

Izolovaná sústava

Zákon zachovania hybnosti môžeme v tejto podobe použiť vtedy, keď na sústavu nepôsobí výsledná vonkajšia sila alebo je jej účinok zanedbateľný. Vnútorné sily medzi telesami, napríklad pri zrážke, celkovú hybnosť sústavy nemenia.

Ak na sústavu výrazne pôsobia vonkajšie sily, napríklad trenie, odpor vzduchu alebo náraz zvonka, celková hybnosť vybranej sústavy sa už nemusí zachovať.

∑ppred = ∑ppo

Súčet všetkých hybností v izolovanej sústave sa počas deja nemení.

Význam smeru hybnosti

Hybnosť je vektorová veličina, preto pri jej sčítavaní musíme zohľadniť aj smer pohybu. Zvolíme si jeden smer ako kladný a hybnosti v opačnom smere priradíme záporné znamienko.

Pri telesách pohybujúcich sa oproti sebe sa preto ich hybnosti pri výpočte odčítavajú, nie sčítavajú ako obyčajné veľkosti.

Práca s kladným a záporným smerom v 1D

  • Na začiatku úlohy si zvoľ jeden smer ako kladný, napríklad doprava.
  • Telesu pohybujúcemu sa v kladnom smere priraď kladnú rýchlosť a hybnosť.
  • Ak sa teleso pohybuje opačným smerom, jeho rýchlosť a hybnosť majú záporné znamienko.
  • Výsledné znamienko rýchlosti po deji určuje smer pohybu telesa.
Bežná chyba študentov: dosadzujú všetky rýchlosti ako kladné aj vtedy, keď telesá idú oproti sebe

Zrážky

Pri zrážke sa v izolovanej sústave vždy zachováva celková hybnosť. Kinetická energia sa však môže meniť — pri niektorých zrážkach sa zachováva, pri iných sa časť premení na iné formy energie. Podľa toho rozlišujeme pružné a nepružné zrážky.

Dokonale nepružná zrážka

Telesá sa po zrážke spoja a ďalej sa pohybujú spoločnou rýchlosťou. Celková hybnosť sa zachováva, ale časť kinetickej energie sa premení na iné formy energie, napríklad na teplo, zvuk a energiu deformácie.

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂) · v

v — spoločná rýchlosť telies po zrážke
Príklad
Havária dvoch áut, ktoré sa do seba zaklinia, alebo vagón, ktorý narazí a spojí sa s ďalším vagónom.

Pružná zrážka

Zachováva sa hybnosť aj kinetická energia. Telesá sa po náraze od seba oddelia, každé s vlastnou (novou) rýchlosťou.

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′

v₁′,v₂′ = rýchlosti po zrážke. Súčasne: Ek,pred = Ek,po

Príklad
Približne pružné sú napríklad zrážky biliardových gúľ. Na mikroskopickej úrovni sa k pružným zrážkam približujú aj zrážky atómov a molekúl v plyne.
v₁
v₂
m₁
m₂
Vozík 1
Vozík 2
Pri tomto nastavení sa vozíky nepribližujú k sebe — nedôjde k zrážke. Zvýš v₁ alebo zníž v₂.
p pred zrážkou
8 kg·m/s
p po zrážke
— kg·m/s
v₁′ / v₂′
— / —

Kladný smer = doprava. Záporná rýchlosť znamená pohyb doľava — smer šípok pod vozíkmi to zobrazuje.

Spätný ráz

Spätný ráz nastáva, keď sa pôvodne spojené časti sústavy od seba oddelia a začnú sa pohybovať opačnými smermi. Ide o dôsledok zákona zachovania hybnosti.

  • Ak je sústava pred dejom v pokoji, jej celková hybnosť je nulová.
  • Po oddelení musia mať jednotlivé časti hybnosti opačného smeru a rovnakej veľkosti, aby ich súčet zostal nulový.

0 = m₁v₁′ + m₂v₂′

→ m₁v₁′ = −m₂v₂′
Vystrelenie projektilu
Zbraň sa pri výstrele pohne dozadu (spätný ráz), zatiaľ čo strela letí dopredu. Ľahšia strela dostane vysokú rýchlosť, ťažšia zbraň len malú.
Raketa
Raketa vypudzovaním spalín získava hybnosť opačným smerom. Spaliny získajú hybnosť jedným smerom a raketa opačným, takže raketa môže zrýchľovať aj vo vákuu — nepotrebuje sa o nič „odraziť“.

Typické chyby

Zamieňanie hybnosti s kinetickou energiou

Hybnosť (p = mv) a kinetická energia (Ek = ½mv²) sú rôzne veličiny s rôznymi vlastnosťami — hybnosť sa zachováva vždy, kinetická energia iba pri pružných zrážkach.

Zabúdanie, že hybnosť má smer

Študenti často sčítavajú iba veľkosti hybností bez ohľadu na smer pohybu. Pri telesách pohybujúcich sa oproti sebe však musíme použiť opačné znamienka.

Nesprávne znamienko pri pohybe opačným smerom

Pri dosadzovaní do vzorcov treba dôsledne používať zvolenú kladnú orientáciu. Teleso pohybujúce sa opačným smerom má zápornú rýchlosť a hybnosť.

Použitie zákona zachovania bez zváženia vonkajších síl

Zákon platí len pre izolovanú sústavu. Ak pôsobí napr. trenie alebo vonkajšia sila, hybnosť sústavy sa môže meniť.

Tvrdenie, že kinetická energia sa zachováva pri každej zrážke

Kinetická energia sa zachováva iba pri pružnej zrážke. Pri nepružnej zrážke sa časť kinetickej energie premieňa napríklad na teplo, zvuk alebo deformáciu.

Výpočtové úlohy

Úlohy zoradené od základných po maturitnú úroveň — pokrývajú všetky vzorce z lekcie.
Výpočet hybnosti

Vypočítaj hybnosť telesa s hmotnosťou 5 kg pohybujúceho sa rýchlosťou 12 m/s.

Základná

Postup: Použijeme základný vzorec pre výpočet hybnosti z 1. kapitoly.

p = m · v
p = 5 · 12
p = 60 kg·m/s
Výpočet rýchlosti / hmotnosti z hybnosti

Teleso má hybnosť 60 kg·m/s a hmotnosť 15 kg. Aká je jeho rýchlosť? Následne: aké hmotné teleso má pri rýchlosti 4 m/s rovnakú hybnosť?

Základná

Postup: Vzorec p = m · v upravíme pre výpočet neznámych veličín.

1. časť: v = p / m = 60 / 15
2. časť: m = p / v = 60 / 4
v = 4 m/s
m = 15 kg
Zmena hybnosti

Auto s hmotnosťou 1 000 kg spomalí zo 72 km/h na 36 km/h. Vypočítaj zmenu jeho hybnosti.

Stredná

Pozor na jednotky: Rýchlosť musíme najskôr previesť z km/h na m/s (delíme číslom 3,6).

v₁ = 72 km/h = 20 m/s
v₂ = 36 km/h = 10 m/s

Postup: Zmena hybnosti je rozdiel konečnej a počiatočnej hybnosti (Δp = p₂ − p₁).

Δp = m · v₂ - m · v₁
Δp = 1000 · 10 - 1000 · 20
Δp = 10000 - 20000
Δp = -10 000 kg·m/s

Záporné znamienko znamená, že zmena (pôsobiaca sila) pôsobila proti smeru pohybu (auto brzdilo).

Impulz sily

Loptička s hmotnosťou 0,2 kg letí rýchlosťou 15 m/s a po náraze na stenu sa odrazí rýchlosťou 10 m/s opačným smerom. Náraz trval 0,05 s. Vypočítaj priemernú silu pôsobiacu na loptičku.

Stredná

Typická chyba: Loptička mení smer! Ak letela rýchlosťou v₁ = 15 m/s, po odraze do opačného smeru musí byť v₂ = -10 m/s.

Postup: Použijeme vzorec z kapitoly 2: F · Δt = Δp, teda F · Δt = m·v₂ - m·v₁

F · 0,05 = 0,2 · (-10) - 0,2 · 15
F · 0,05 = -2 - 3
F · 0,05 = -5
F = -5 / 0,05
F = -100 N

Mínus ukazuje, že sila steny pôsobila proti pôvodnému smeru letu loptičky.

Dve telesá sa zrazia a spoja (dokonale nepružná zrážka)

Vozík s hmotnosťou 3 kg ide rýchlosťou 6 m/s a narazí do stojaceho vozíka s hmotnosťou 1 kg. Po zrážke sa spoja. Aká je ich spoločná rýchlosť?

Stredná

Postup: Využijeme zákon zachovania hybnosti pre dokonale nepružnú zrážku (Kapitola 4).

m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂) · v
3 · 6 + 1 · 0 = (3 + 1) · v
18 = 4 · v
v = 18 / 4
v = 4,5 m/s
Zrážka s opačnými smermi pohybu

Dva vozíky idú oproti sebe: vozík A (2 kg, 5 m/s) a vozík B (3 kg, −4 m/s). Po dokonale nepružnej zrážke sa spoja. Vypočítaj ich spoločnú rýchlosť aj smer pohybu po zrážke.

Maturitná

Postup: Vozík B už má zadanú zápornú rýchlosť (ide opačným smerom). Dosadíme priamo do rovnice pre nepružnú zrážku.

m_A·v_A + m_B·v_B = (m_A + m_B) · v
2 · 5 + 3 · (-4) = (2 + 3) · v
10 - 12 = 5 · v
-2 = 5 · v
v = -2 / 5
v = -0,4 m/s

Keďže výsledok je záporný, spojené vozíky sa budú pohybovať v smere pôvodného pohybu ťažšieho vozíka B.

Spätný ráz

Delo s hmotnosťou 800 kg vystrelí projektil s hmotnosťou 4 kg rýchlosťou 200 m/s. Aká bude spätná rýchlosť dela, ak bolo pred výstrelom v pokoji?

Maturitná

Postup: Podľa 5. kapitoly je pred výstrelom celková hybnosť sústavy nulová. Preto sa súčet hybností po výstrele musí tiež rovnať nule.

0 = m_dela·v_dela + m_projektilu·v_projektilu
0 = 800 · v_dela + 4 · 200
0 = 800 · v_dela + 800
-800 = 800 · v_dela
v_dela = -1 m/s

Záporné znamienko matematicky potvrdzuje existenciu spätného rázu – delo sa pohne presne opačným smerom, ako vyletel projektil.

Záverečný kvíz

Zaregistruj sa a sleduj svoj pokrok
Pokračuj ďalej
Návrat hore